DQ8のカジノのビンゴの確率を計算

縦５×横５
数字は１～２４。
真ん中は最初から開いている。
つまり、出てきた数字が自分の紙にはないってことはない。

４回目で揃う確立は
４／24Ｃ４
これは簡単なんで説明不要。

５回目までに揃う確率は
（８＋４×20Ｃ１）／24Ｃ５
８ってのは、真ん中を使わずに揃えるそろえ方のパターン数。
４×20Ｃ１は真ん中を使ってそろえたときのパターン数。
20Ｃ１ってのはビンゴの成立に必要ないどうでもいい２０マスのうちからどこか一つ選びなさいってことね。
あくまで５回目までに揃う確率なので、５回目ではじめて揃う確率は、そこから
４回目で揃う確率を引いた値になる。

同様にして、６回目までに揃う確率は
（８×１９Ｃ１＋４×20Ｃ2）／24Ｃ６

７目までに揃う確率も同じようにして求められるけど、

８回目以降だと２つのビンゴが成立することもあるわけで、２つのビンゴが成立する場合を２重にカウントしてしまう。
そこでその重複分を引かないといけない。（ダブルで揃っても配当はシングルのときと同じだよね？知らんけど、同じという前提の下に計算するよ。）


８回目はまだ重複パターン少ないからいいよ。

８回目までに揃う確率は
{８×１９Ｃ３＋４×20Ｃ４－（４Ｃ２＋２×４×２＋１×４×２）}／24Ｃ８
４Ｃ２は２ラインとも真ん中を通る組み合わせ。２×４×２は１列だけ真ん中を通り、それが斜めの場合、１×４×２は１列だけ真ん中を通り、それが縦または横の場合の組み合わせのこと。

難しいのは９回目１０回目だ。
真ん中を使わないで２個揃った場合と、真ん中使ったの１個と使わないの１個で２個揃った場合の両方がある。

まず９回目までに２つのビンゴが成立するパターン数から。
これは、８つ数字を開ければ２つビンゴが成立する場合と、９つ開いて始めて２つのビンゴが成立する場合の２つに分けて考える。
８つで２つビンゴが成立する場合ってのは、上で書いたように
４Ｃ２＋２×４×２＋１×４×２＝３０パターンある。
残りの１個は、残り１６マスの任意の場所を開けていいので
３０×１６＝４８０
そして、９つ開けて初めて２つのビンゴができる場合は、
縦と横なら両列とも真ん中は通らないので
４×４＝１６通り。
縦と縦、横と横は、１列は真ん中の列なので各４通りの合わせて８通り。

これらを足して５０４が重複分。

よって９回目までにビンゴが成立する確立は
（８×１９Ｃ４＋４×20Ｃ５－５０４）／24Ｃ９


そしていよいよ最後。１０回目。
１０回ではトリプルビンゴが成立しないんで正直助かった。
トルプルビンゴになるともはや俺の手には負えない、かはどうかはわからないけど、少なくともちょっと計算してみようという気は完全にうせるだろうな。

あ	い	う	い	あ
い	あ	う	あ	い
う	う	○	う	う
い	あ	う	あ	い
あ	い	う	い	あ

上の表みたいなのはビンゴカードと思ってください。
今回は９回目とがらりと異なる方法で重複分にアプローチ。

まず「い」の位置が２つにビンゴに共通している場合、２つのビンゴを成り立たせるのに９つの数字を使う。
残りの一つは任意のところをあけられるので、ひとつの「い」につき１５Ｃ１通り。
「い」全部で１５×８の１２０通り。
「う」だと、二つのビンゴに必要な数字は、中心を使えるおかげで８つですむ。
それゆえ数字２つ分はどこを空けてもいいので、「う」一つにつき１６Ｃ２＝１２０通り。
「う」は８つあるので、掛ける８で９６０通り。
「あ」は一点につき、縦横のビンゴだと１５Ｃ１通り。
縦と斜めだと１６Ｃ２通り。横と斜めでも１６Ｃ２通り。
合わせて「あ」１点で２５５通り。
「あ」は８点あるから、「あ」全部で２５５×８の２０４０通り。

二つのビンゴが両方とも真ん中を通る場合、列の組み合わせは４Ｃ２。
２つのビンゴに必要な数字は８マスでいいので、残り２マスどこ開けるかが
１６Ｃ２通り。
かけて４Ｃ２×１６Ｃ２＝７２０

中心を使った縦とそうでない縦の場合と、横横は、中心を使った横とそうでない横の場合との合計は８×１５Ｃ１＝１２０通り。
中心を使わない縦縦および横横は４Ｃ２×２＝１２通り

全部あわせると、
１２０＋９６０＋２０４０＋７２０＋１２０＋１２＝３９７２
１０回引いて、ビンゴが二つ成立してるときの開き方の組み合わせは３２５２通り。
よって、１０回目までにビンゴが成立する確率は


（８×１９Ｃ５＋４×20Ｃ６－３９７２）／24Ｃ１０

計算はまた今度しよう。
するかどうかわからんけど。
するならこちらのサイト使わせてもらって。

でも一応一つだけ
１０回目までにビンゴができる確率は

(８×11628＋４×38760-３９７２)/1961256=０．１２４４５６９８１
うーん、google先生便利です。
しかし、ビンゴ１０回以内に成立する確率８分の１とか結構低いね。
因みに１０回目で成立したときの倍率は５倍。

他の回数も調べて期待値出すのはまた今度。

いやあ、しかし何が大変だったかって言うと、一番大変なのは24Ｃ１０とか、こういう文字のうちかただね。
このbloggerはいわゆるワープロモードで打ってんだけど、文字サイズの変更が何回もしているうちに変になっちゃって、結局ＨＴＭＬの知識何にもないのに、見よう見まねで学習しなくちゃいけなくなったんだからさ。


追記　８,９,１０回目の重複分の数え方のミスを訂正。